Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D。

（1）以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=6，BD=,  求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積。（結果保留根號和）

Answer 1

1）如圖，作AD的垂直平分線交AB于點O，O為圓心，OA為半徑作圓。

 

判斷結果：BC是⊙O的切線。連結OD。

  ∵AD平分∠BAC      ∴∠DAC=∠DAB

∵OA=OD              ∴∠ODA=∠DAB

∴∠DAC=∠ODA       ∴OD∥AC     ∴∠ODB=∠C

∵∠C=90º            ∴∠ODB=90º  即：OD⊥BC

∵OD是⊙O的半徑      ∴ BC是⊙O的切線。

(2) 如圖，連結DE。

   設⊙O的半徑為r，則OB=6-r，

在Rt△ODB中，∠ODB=90º，

∴ 0B²=OD²+BD²        即：(6-r)²= r²+()²     

∴r=2    ∴OB=4    ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º

∵△ODB的面積為，扇形ODE的面積為

∴陰影部分的面積為—。