Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，6），（4，0），在y軸上求一點(diǎn)C，使△ABC的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)△ABC的面積．

Answer 1

分析 作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD交y軸于C，此時(shí)DC=BC，則AC+BC=AC+DC=AD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，然后利用待定系數(shù)法即可求得b的值，從而求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△ABC=S_△ABD-S_△BCD即可求得三角形ABC的面積．

解答 解：作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD交y軸于C，此時(shí)DC=BC，則AC+BC=AC+DC=AD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，
∵B（4，0），
∴D（-4，0），
∴BD=8，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{2k+b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴C（0，4），
∴S_△ABC=S_△ABD-S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD×6-$\frac{1}{2}$BD×4=$\frac{1}{2}$×8×2=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等，確定C的位置是解題的關(guān)鍵．