Question

已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．
（1）求證：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；
（3）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB'E'（如圖2），使點E落在CD邊
上的點E＇處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由．

Answer 1

⑴證明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90^。，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90^。，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90^。，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF.
⑵解：∵正方形面積為3，
∴AB=，  
在△BGE 與△ABE 中，  
∵∠GBE= ∠BAE,  ∠EGB= ∠EBA=90^。
∴△BGE ∽△ABE                     
∴，又BE=1，
∴AE²=AB²+BE²=3+1=4
∴==.   (用其他方法解答仿上步驟給分).
⑶解：沒有變化
∵AB=，BE=1，
∴tan∠BAE=,∠BAE=30°,
∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE＇=90°,AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,
∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，
設BF 與AE ′的交點為H,
則∠BAG= ∠HAG=30 °, 而∠AGB= ∠AGH=90 °,AG公共，
∴△BAG ≌△HAG,
∴S_{四邊形GHE'B'}=S_△AB'E'-S_△AGB=S_△ABE-=S_△BGE
∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化