Question

如圖，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，M，N分別是AB，BC邊上的中點．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，在AC上找一點P，使得MP+NP最短．（不用寫作法，保留作圖痕跡）
（2）請猜想點P在邊AC的什么位置上，試用這個結(jié)論，若三角形ABC的邊AC上的高為1，求MP+NP的最短長度．

Answer 1

分析：（1）以點M為圓心，以任意長為半徑畫弧與AC相交于兩點，再以這兩點為圓心，以大于它們

1

2

長度為半徑畫弧，相交于一點，過這點與M作直線與AC相交于點O，再截取OM′=OM，然后連接M′N與AC相交于點P，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點P即為使MP+NP最短的點；
（2）根據(jù)等腰三角形的對稱性猜測點P是AC的中點；連接PM、BP，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BP是AC邊上的高，再求出∠A=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB=2BP，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PM=

1

2

AB，同理求出PN，相加即可得解．

解答：解：（1）如圖所示，點P即為所求；

（2）P是AC的中點．
連接PM，BP，
∵AB=BC，P是AC的中點，
∴BP為AC邊上的高，BP=1，
∴∠APB=90°．
∵∠B=120°，
∴∠BAP=30°，
∴AB=2BP=2×1=2，
又∵M是AB的中點，
∴PM=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
同理PN=1，
∴PM+PN=2．

點評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，利用軸對稱確定最短路線問題的方法需熟練掌握并靈活運用，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．