Question

14．如圖，在邊長為1+$\sqrt{2}$的正方形ABCD中，P是BC邊上的一點(diǎn)，把線段PA繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ．
（1）如圖（左），若點(diǎn)Q恰好落在邊CD上，∠APQ=60°，求∠BAP的度數(shù)；
（2）如圖（右），若點(diǎn)Q落在正方形的外部．且∠APQ=90°，△CPQ是等腰三角形，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=AQ，證明Rt△ABP≌Rt△ADQ，得到∠BAP=∠DAQ，得到答案；
（2）在AB上截取AE=PC，連接PE，證明△AEP≌△PCQ，得到PE=CQ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，PA=PQ，
∵∠APQ=60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴∠PAQ=60°，AP=AQ，
在Rt△ABP和Rt△ADQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ，
∴∠BAP=∠DAQ=30°；
（2）在AB上截取AE=PC，連接PE，
∵∠B=∠APQ=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，∠QPC+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠QPC，
在△AEP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=PC}\\{∠EAP=∠CPQ}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△PCQ，
∴PE=CQ，
∵PC=CQ，
∴PE=PC=AE，
∵AB=BC，AE=PC，
∴BE=BP，
∴AE=PE=$\sqrt{2}$BP，
∴$\sqrt{2}$BP+BP=1+$\sqrt{2}$，
∴BP=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．