Question

已知關(guān)于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱．求這個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,一元一次方程的解,根的判別式

專題：

分析：（1）由判別式△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，即可判定無論m取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）由關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱，可得對稱軸：x=-

-3(m-1)

2m

=

3(m-1)

2m

=0，即可求得m的值，繼而求得答案．

解答：（1）證明：當(dāng)m=0時，原方程可化為3x-3=0，解得x=1；
當(dāng)m≠0時，
∵△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴無論m取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

（2）解：∵關(guān)于x的二次函數(shù)y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴對稱軸：x=-

-3(m-1)

2m

=

3(m-1)

2m

=0，
∴3（m-1）=0，
解得：m=1，
∴這個二次函數(shù)的解析式為：y₁=x²-1．

點評：此題考查了一元二次方程根的情況以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．此題難度適中，注意掌握方程思想的應(yīng)用．