Question

如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，連接OE，已知∠AEO=30°，∠C=60°，BC=2

3

．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑的長度；
（3）求AE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：計算題

分析：（1）由OA=OE得到∠A=∠AEO=30°，而∠C=60°，則∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定方法即可得到BC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系由BC=2

3

，∠A=30°得到AC=2BC=4

3

，再根據(jù)勾股定理計算出AB=6，于是得到⊙O的半徑為3；
（3）過點O作OF⊥AE于點E，根據(jù)垂徑定理得AF=EF，在Rt△OEF中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OF=

3

2

，則EF=

3

2

3

，所以AE=2EF=3

3

．

解答：（1）證明：∵∠AEO=30°，OA=OE，
∴∠A=∠AEO=30°，
又∵∠C=60°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥CB，
又∵AB是直徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵BC=2

3

，∠A=30°，
∴AC=2BC=4

3

，
在Rt△ABC中，
∴AB=

AC2-BC2

=6，
∴AO=3，
即⊙O的半徑為3；
（3）解：過點O作OF⊥AE于點E，如圖，
∴AF=EF，
在Rt△OEF中，∠AEO=30°，OE=3，
∴OF=

3

2

，
∴EF=

3

2

3

，
∴AE=2EF=3

3

．

點評：考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、垂徑定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．