Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)把三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式； 　　(2)求得拋物線頂點(diǎn)P，從直線BC的斜率算起，設(shè)過點(diǎn)P的直線，解得直線代入拋物線解析式解得點(diǎn)Q； 　　(3)求得點(diǎn)M，由點(diǎn)M，P的縱坐標(biāo)關(guān)系可知，點(diǎn)R存在，y＝2代入解得． 　　解答：解：(1)把三點(diǎn)代入拋物線解析式 　　， 　　即得：， 　　所以二次函數(shù)式為y＝－x2＋2x＋3； 　　(2)由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 　　則頂點(diǎn)P(1，4)， 　　由B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，直線BC解析式為y＝－x＋3， 　　設(shè)過點(diǎn)P與直線BC平行的直線為：y＝－x＋b， 　　將點(diǎn)P(1，4)代入，得y＝－x＋5， 　　則直線BC代入拋物線解析式是否有解，有則存在點(diǎn)Q， 　�。瓁2＋2x＋3＝－x＋5， 　　即x2－3x＋2＝0， 　　解得x＝1或x＝2， 　　代入直線則得點(diǎn)(1，4)或(2，3)， 　　已知點(diǎn)P(1，4)，所以點(diǎn)Q(2，3)， 　　由對(duì)稱軸及直線BC解析式可知M(1，2)，PM＝2， 　　設(shè)過P′(1，0)且與BC平行的直線為y＝－x＋c， 　　將P′代入，得y＝－x＋1， 　　聯(lián)立，解得或， 　　∴Q(，)或Q(，)； 　　(3)有題意求得直線BC代入x＝1則y＝2， 　　∴M(1，2)， 　　由點(diǎn)M，P的坐標(biāo)可知： 　　點(diǎn)R存在，即過點(diǎn)M平行于x軸的直線， 　　則代入y＝2，x2－2x－1＝0， 　　解得x＝1－(在對(duì)稱軸的左側(cè)，舍去)，x＝1＋， 　　即點(diǎn)R(1＋，2)． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查到了三點(diǎn)確定二次函數(shù)解析式，兩直線相等，即斜率相等，兩三角形面積相等，由同底等高；點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度是點(diǎn)P的一半，從而解得．本題邏輯思維性強(qiáng)，需要耐心和細(xì)心，是道好題．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．