Question

已知：在Rt△ABC中，AB=BC．在Rt△ADE中，AD=DE；連接EC，取EC中點M，連接DM和BM．
（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖（1），猜想BM與DM的關系；
（2）如果將圖（1）中的Rt△ADE繞點A逆時針旋轉90°的角，如圖（2），那么（1）中的結論是否仍然成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．
（3）如果將圖（1）中的Rt△ADE繞點A逆時針旋轉大于90°且小于135°的角，如圖（3），那么（1）中的結論是否仍然成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．

Answer 1

解：（1）BM與DM的關系是BM=DM，BM⊥DM，
理由是：∵∠ABC=90°，∠EDC=90°，M為EC的中點，
∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，
∴BM=DM，∠MBC=∠BCM，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=2∠BCE，∠DME=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=2∠BCE+2∠ACE=2×45°=90°，
即BM=DM，BM⊥DM．
（2）（1）中的結論還成立，
理由是：取AC的中點F，AE的中點G，連接DG、GM、BF、MF，
∵M為EC的中點，
∴MF∥AC，MG=AC，
∵∠ABC=90°，F(xiàn)為AC中點，AB=AC，
∴BF⊥AC，BF=AC，
∴GM=BF，
同理MF=DG，MF∥AE，
∵MF∥AE，GM∥AC，
∴∠MFC=∠EAF=∠EGM，
∵∠DGM=∠DAF=∠BFC=90°，
∴∠DGM=∠MFB，
在△DGM和△MFB中
，
∴△DGM≌△MFB，
∴DM=BM，∠MBF=∠DMG，
∵BF⊥AC，MG⊥AC，
∴BF⊥GM，
∴∠MBF+∠BMH=180°﹣90°=90°，
即∠BMD=90°，
∴DM⊥BM，
∴（1）中的結論還成立；
（3）（1）中的結論還成立，
理由是：取AC的中點F，AE的中點G，連接DG、GM、BF、MF，
∵M為EC的中點，
∴MF∥AC，MG=AC，
∵∠ABC=90°，F(xiàn)為AC中點，AB=AC，
∴BF⊥AC，BF=AC，
∴GM=BF，
同理MF=DG，MF∥AE，
∵MF∥AE，GM∥AC，
∴∠MFC=∠EAF=∠EGM，
∵∠DGE=∠BFC=90°，
∴∠DGM=∠MFB，
在△DGM和△MFB中
，
∴△DGM≌△MFB，
∴DM=BM，∠MBF=∠DMG，
∵BF⊥AC，MG∥AC，
∴BF⊥GM，
∴∠MBF+∠BMH=180°﹣90°=90°，
即∠BMD=90°，
∴DM⊥BM，
∴（1）中的結論還成立．