Question

如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于

 

cm．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),解直角三角形

專題：分類討論

分析：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP′的長即可．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°=

DE

AD

，即DE=

3

cm，
根據(jù)勾股定理得：AE=

32-( 3 )2

=2

3

cm，
∵M為AE的中點，
∴AM=

1

2

AE=

3

cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，

AD=PN AE=PQ

，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=

AM

AP

，
∴AP=

AM

cos30°

=

3

3 2

=2cm；
由對稱性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1cm，
綜上，AP等于1cm或2cm．
故答案為：1或2．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．