Question

已知：如圖，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，連結(jié)PB、PO，PO∥BC，
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求tan∠BCA的值．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC．
∵PO∥BC，
∴∠C=∠AOP，∠BOP=∠OBC，
∴∠AOP=∠BOP
∵OP=OP，
∴△AOP≌△BOP．
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切線．
（2）解：延長AC交PB的延長線于點D，
∵PO∥BC，
∴△PDO∽△BDC．

∴．
∴DC=2CO．
設(shè)CO=r，則DO=3r，連結(jié)BO，
在Rt△BDO中，．
又∵△BDO∽△ADP，
∴．
∴．
∴．
分析：（1）連接OB．證OB⊥PB即可．通過證明△AOP≌△BOP得證．
（2）延長AC交PB的延長線于點D，利用△PDO∽△BDC得到DC=2CO．設(shè)CO=r，則DO=3r，連結(jié)BO，利用△BDO∽△ADP，求得PA的長，從而求解結(jié)論．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及切線的判定，特別是第（2）題，難度較大．