Question

正方形ABCD中，點P是邊CD上的一個動點，過點P作PE⊥BP．
（1）如圖1，如果PE與BC的延長線交于點E，則有△______∽△BCP；
（2）如圖2，如果PE與AD交于點E．
①求證：；
②探索：當點P運動到何處時，△BPE∽△BCP？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠PCD=∠PCB=90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠PBC=∠CPE，
∴Rt△BCP∽Rt△BPE∽Rt△PCE，
故答案為△BPE∽△PCE；

（2）①證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=∠D=90°，
又∵PE⊥BP，
∴∠BPE=90°，
∴∠EPD=∠PBC，
∴Rt△PED∽Rt△BPC，
∴=；

②當點P運動到DC的中點時，△BPE∽△BCP．理由如下：
∵點P是DC的中點，
∴PD=PC，
由（2）得PE：PB=PD：BC，
∴PE：PB=PC：BC，
∴PE：PC=PB：BC，
∴Rt△BPE∽Rt△BCP．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠PCD=∠PCB=90°，而PE⊥BP，則∠BPE=90°，根據(jù)同角的余角相等得∠PBC=∠CPE，然后根據(jù)直角三角形相似的判定定理即可得到Rt△BCP∽Rt△BPE∽Rt△PCE；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠C=∠D=90°，而PE⊥BP，則∠BPE=90°，根據(jù)同角的余角相等得∠EPD=∠PBC，然后根據(jù)直角三角形相似的判定定理即可得到Rt△PED∽Rt△BPC，理由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）當點P是DC的中點，則PD=PC，由（2）的結(jié)論得到PE：PB=PC：BC，即PE：PC=PB：BC，根據(jù)直角三角形相似的判定定理即可得到△BPE∽△BCP．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有一組銳角對應相等的兩直角三角形相似；有兩組對應邊的比相等的兩個直角三角形相似；相似三角形的對應邊比相等．也考查了正方形的性質(zhì)．