Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A（-1，0）．過點(diǎn)A作直線y=x+c與拋物線交于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P在直線y=x+c上，從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PQ∥y軸，與拋物線交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）直接寫出b，c的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=2時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）通過計(jì)算說明：t為何值時(shí)，線段PQ最長(zhǎng)？最大值是多少？
（4）t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的面積分成1：3的兩部分？

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=-x²+bx+3上，
∴-1-b+3=0，
記得b=2，
∵點(diǎn)A（-1，0）在直線y=x+c上，
∴-1+c=0，
解得c=1，
所以，b=2，c=1，
聯(lián)立，
解得（為點(diǎn)A坐標(biāo)），，
所以點(diǎn)D（2，3）；

（2）解：當(dāng)t=2時(shí)，AP=2，
∵直線y=x+1與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1），
∴OA=OF=1，
∴∠DAB=45°，
∴PE=AE=2，
∴OE=AE-OA=1，
即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，
∴QE=-1²+2×1+3=4，
∴PQ=QE-PE=4-2=2；

（3）AP=t，由（2）知∠DAB=45°，
∴PE=AE=t，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t-1，
∴QE=-（t-1）²+2（t-1）+3=-t²+4t，
PQ=QE-PE=-t²+4t-t=-t²+3t=-（t-）²+，
∴當(dāng)t=時(shí)，線段PQ最長(zhǎng)，最大值是；

（4）拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
令y=0，則-x²+2x+3=0，即x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
令x=0，則y=3，
所以點(diǎn)B（3，0），C（0，3），
①顯然，當(dāng)t=1時(shí)，直線PQ與y軸重合，直線PQ把△ABC的面積分成1：3的兩部分；
②直線PQ與BC相交時(shí)，∵點(diǎn)B（3，0），C（0，3），
∴∠OBC=45°，AB=3-（-1）=3+1=4，
根據(jù)（2），AE=AP=×t=t，
所以，BE=4-t，
所以，S_△ABC=×4×3=6，
所以，×（4-t）（4-t）=×6，
整理得，（4-t）²=3，
解得，t₁=4+（在點(diǎn)B右側(cè)，舍去），t₂=4-，
綜上所述，t=1或4-．
分析：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)行計(jì)算即可求出b，代入直線解析式計(jì)算即可求出c值，聯(lián)立拋物線與直線解析式求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直線解析式求出直線與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AP的長(zhǎng)度，然后求出∠DAB=45°，設(shè)直線PQ與x軸的交點(diǎn)為E，解直角三角形求出PE、AE的長(zhǎng)度，再求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出QE的長(zhǎng)度，根據(jù)PQ=QE-PE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）用t表示出PE、AE，再表示出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式表示出QE，再根據(jù)PQ=QE-PE整理出關(guān)于t的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（4）利用拋物線求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知當(dāng)PQ與y軸重合時(shí)，直線PQ把△ABC的面積分成1：3的兩部分；當(dāng)直線PQ與BC相交時(shí)，先根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出∠OBC=45°并求出△ABC的面積，再用t表示出BE，然后三角形的面積列式計(jì)算即可得解．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的最大值，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（4）要分情況討論．