Question

如圖，△ABC中，∠ACB=45°，AO⊥BC于O，以BC、AO所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，CD⊥AB于D，交y軸于E，若OA=m，OB=n，且

m-n-1

+

n-2

=0．
（1）求m、n的值；
（2）求直線CD的解析式；
（3）求D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由

m-n-1

+

n-2

=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可求出m、n的值；
（2）先判定△AOC是等腰直角三角形，得出OA=OC=3，C（3，0），再由同角的余角相等得出∠OAB=∠OCE=90°-∠OBA，利用ASA證明△AOB≌△COE，得出OB=OE=2，則E（0，2），然后設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，將C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再與直線CD的解析式聯(lián)立，組成二元一次方程組，解方程組即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵

m-n-1

+

n-2

=0，
∴

m-n-1=0 n-2=0

，解得

m=3 n=2

，
故m的值為3，n的值為2；

（2）∵△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=45°，
∴OA=OC=3，C（3，0）．
∵AO⊥BC于O，CD⊥AB于D，
∴∠OAB=∠OCE=90°-∠OBA．
在△AOB與△COE中，

∠AOB=∠COE=90° OA=OC ∠OAB=∠OCE

，
∴△AOB≌△COE，
∴OB=OE=2，
∴E（0，2）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 b=2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
∴直線CD的解析式為y=-

2

3

x+2；

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，
∵A（0，3），B（-2，0），
∴

q=3 -2p+q=0

，解得

p= 3 2 q=3

，
∴直線AB的解析式為y=

3

2

x+3．
由

y= 3 2 x+3 y=- 2 3 x+2

，解得

x=- 6 13 y= 30 13

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

6

13

，

30

13

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．