Question

1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=4，∠ACB=90°，MA⊥AB，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，沿射線AM、AC方向運(yùn)動(dòng)，Q的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度是$\sqrt{2}$單位/秒，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），線段PB交射線AC于D點(diǎn)，
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求證：△PBQ是等腰直角三角形．
（2）過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BD交BQ延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，問(wèn)△ABE的面積是否是一個(gè)定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）直接寫(xiě)出當(dāng)t=4-2$\sqrt{2}$時(shí)，PE∥DQ．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PN⊥AQ垂足為N，只要證明△PQN≌△QBC即可解決問(wèn)題．
（2）△ABE的面積是定值，如圖2中，作DN⊥AB于N，EK⊥ND于K，EG⊥AB于G，連接AE，只要證明△KDE≌△NBD，即可得到EG=KN=AB，由此即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，連接PE，作PN⊥AC于N，首先證明BQ=BD，再根據(jù)PN∥BC得$\frac{BC}{PN}$=$\frac{CD}{DN}$，列出方程即可．

解答 （1）證明：如圖1中，作PN⊥AQ垂足為N．
∵AC=CB，∠ACB=90°，MA⊥AB
∴∠CAB=∠CBA=∠MAQ=45°，
在RT△PNA中，∵AP=$\sqrt{2}$t，∠PAN=45°，
∴PN=AN=t=CQ，AC=NQ=BC，
在△PQN和△QBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PN=CQ}\\{∠PNQ=∠BCQ}\\{QN=BC}\end{array}\right.$，
∴△PQN≌△QBC，
∴PQ=QB，∠PQN=∠QBC，
∵∠QBC+∠CQB=90°，
∴∠PQN+∠BQC=90°，
∴∠PQB=90°，
∴△PQB是等腰直角三角形．
（2）△ABE的面積是定值，理由如下：
如圖2中，作DN⊥AB于N，EK⊥ND于K，EG⊥AB于G，連接AE，
∵∠EDB=90°，△PQB是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠DEB=45°，
∴DE=DB，
∵∠KDE+∠BDN=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠EDK=∠DBN，
在△EDK和△DBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠K=∠DNB}\\{∠KDE=∠DBN}\\{DE=DB}\end{array}\right.$，
∴△KDE≌△NBD，
∴DK=BN，
∵∠DNA=90°，∠DAN=45°，
∴∠DAN=∠ADN=45°，
∴∠NAD=∠NDA=45°，
∴DN=AN，
∴KN=KD+DN=BN+AN=AB，
∵∠EKN=∠KNG=∠EGN=90°，
∴四邊形KNGE是矩形，
∴EG=EN=AB，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$•AB•EG=$\frac{1}{2}$•AB²=8．
（3）如圖3中，連接PE，作PN⊥AC于N
∵PE∥AQ，
∴∠PED=∠EDQ，
∵∠DEQ=∠DPQ=45°，
∴P、D、Q、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EPQ=∠EDQ，
∴∠DEQ=∠QPE，
∴∠BEP=∠BPE，
∵∠BQD=∠BEP，∠BDQ=∠BPE，
∴∠BQD=∠BDQ，
∴BD=BQ，
∵BC⊥AC，
∴CD=CQ=t，
由（1）可知，PN=AN=CQ=t，
∵AB=4，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴DN=2$\sqrt{2}$-2t，
∵PN∥BC，
∴△DPN∽△DBC，
∴$\frac{BC}{PN}$=$\frac{CD}{DN}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{t}$=$\frac{t}{2\sqrt{2}-2t}$，
∴t²+4$\sqrt{2}$t-8=0，
∴t=4-2$\sqrt{2}$或-4-2$\sqrt{2}$舍棄．
∴t=（4-2$\sqrt{2}$）秒時(shí)，PE∥DQ．
故答案為4-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形或特殊四邊形，學(xué)會(huì)應(yīng)用方程的思想解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．