Question

10．在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD．試探索以下問題：
（1）當點E為AB的中點時，如圖1，求證：EC=ED．
（2）如圖2，當點E不是AB的中點時，過點E作EF∥BC，交AC于點F，求證：△AEF是等邊三角形．
（3）在（2）的條件下，EC與ED還相等嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質得出AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由E是AB的中點，AE=BE=BD，證出∠EDB=∠ECB，得出EC=ED；
（2）在△AEF中，只要證明有兩個內角是60°即可；
（3）只要證明△DBE≌△EFC，即可推出結論；

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵E是AB的中點，
∴AE=BE，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠DEB=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED．

（2）過E點作EF∥BC交AC于F點．如圖2所示：
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等邊三角形．

（3）ED=EC． 理由如下：
∵△AEF是等邊三角形．
∴∠AFE=∠ABC=60°
∴∠EFC=∠DBE=120°，
又∵AE=BD，AB=AC，
∴BD=EF，BE=FC，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=EF}\\{∠DBE=∠EFC}\\{BE=FC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．

點評 本題考查了等邊三角形的性質和判定、全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．