Question

9．已知直線y=kx+b（k≠0）過(guò)點(diǎn)F（0，1），與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²相交于B、C兩點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求直線BC的解析式；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)D，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，設(shè)B（m．n）（m＜0），過(guò)點(diǎn)E（0．-1）的直線l∥x軸，BR⊥l于R，CS⊥l于S，連接FR、FS．試判斷△RFS的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出C的坐標(biāo)，然后由C、F兩點(diǎn)用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）因?yàn)镈M∥OF，要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則DM=OF，設(shè)M（x，-$\frac{3}{4}$x+1），則D（x，$\frac{1}{4}$x²），表示出DM，分類討論列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=$\frac{1}{2}$∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，所以C（1，$\frac{1}{4}$），
又∵直線BC過(guò)C、F兩點(diǎn)，
故得方程組：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$
解之，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+1；

（2）要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則MD=OF，如圖1所示，
設(shè)M（x，-$\frac{3}{4}$x+1），則D（x，$\frac{1}{4}$x²），
∵M(jìn)D∥y軸，
∴MD=-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²，
由MD=OF，可得|-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²|=1，
①當(dāng)-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²=1時(shí)，
解得x₁=0（舍）或x₁=-3，
所以M（-3，$\frac{13}{4}$），
②當(dāng)-$\frac{3}{4}$x+1-$\frac{1}{4}$x²，=-1時(shí)，
解得，x=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，
所以M（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17+3\sqrt{41}}{8}$）或M（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17-3\sqrt{41}}{8}$），
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M，使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
M點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，$\frac{13}{4}$）或（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17+3\sqrt{41}}{8}$）或（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{17-3\sqrt{41}}{8}$）；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FT⊥BR于點(diǎn)T，如圖2所示，
∵點(diǎn)B（m，n）在拋物線上，
∴m²=4n，
在Rt△BTF中，
BF=$\sqrt{B{T}^{2}+T{F}^{2}}$
=$\sqrt{（n-1）^{2}+{m}^{2}}$
=$\sqrt{（n-1）^{2}+4n}$
=$\sqrt{（n+1）^{2}}$，
∵n＞0，
∴BF=n+1，
又∵BR=n+1，
∴BF=BR．
∴∠BRF=∠BFR，
又∵BR⊥l，EF⊥l，
∴BR∥EF，
∴∠BRF=∠RFE，
∴∠RFE=∠BFR，
同理可得∠EFS=∠CFS，
∴∠RFS=$\frac{1}{2}$∠BFC=90°，
∴△RFS是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理以及分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．