Question

18．如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點D，E，已知⊙O的半徑為$\sqrt{3}$．
（1）求證：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由圓內接四邊形的外角等于它的內對角知∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA；
（2）連接AE．由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直徑對的圓周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．則DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABED為⊙O的內接四邊形，
∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．

（2）解：連接AE．
由（1）得△CDE∽△CBA，
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=∠AEC=90°．
在Rt△AEC中，
∵∠C=60°，
∴∠CAE=30°；
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{1}{2}$，即DE=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓內接四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、圓周角定理，直角三角形的性質等知識的綜合應用能力．