Question

19．A廠一月份產(chǎn)值為16萬元，因管理不善，二、三月份產(chǎn)值的月平均下降率為x（0＜x＜1）．B廠一月份產(chǎn)值為12萬元，二月份產(chǎn)值下降率為x，經(jīng)過技術(shù)革新，三月份產(chǎn)值增長，增長率為2x．三月份A、B兩廠產(chǎn)值分別為y_A、y_B（單位：萬元）．
（1）分別寫出y_A、y_B與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)y_A=y_B時，求x的值；
（3）當(dāng)x為何值時，三月份A、B兩廠產(chǎn)值的差距最大？最大值是多少萬元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意由增長率的相等關(guān)系列式即可；
（2）由（1）中所列解析式，根據(jù)y_A=y_B列方程求解可得；
（3）分0＜x＜$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{10}$＜x＜1利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得：y_A=16（1-x）²，y_B=12（1-x） （1+2x）． 

（2）由題意得 16（1-x）²=12（1-x） （1+2x）
解得：x₁=$\frac{1}{10}$，x₂=1．
∵0＜x＜1，
∴x=$\frac{1}{10}$．

（3）當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{10}$時，y_A＞y_B，
y_A-y_B=16（1-x）²-12（1-x） （1+2x）=40（x-$\frac{11}{20}$）²-$\frac{81}{10}$，
∵x＜$\frac{11}{20}$時，y_A-y_B的值隨x的增大而減小，且0＜x＜$\frac{1}{10}$，
∴當(dāng)x=0時，y_A-y_B取得最大值，最大值為4；

當(dāng)$\frac{1}{10}$＜x＜1時，y_B＞y_A，
y_B-y_A=12（1-x） （1+2x）-16（1-x）²=4（1-x）（10x-1）=40（x-$\frac{11}{20}$）²+$\frac{81}{10}$，
∵-40＜0，$\frac{1}{10}$＜x＜1，
∴當(dāng)x=$\frac{11}{20}$時，y_B-y_A取最大值，最大值為8.1．
∵8.1＞4
∴當(dāng)x=$\frac{11}{20}$時，三月份A、B兩廠產(chǎn)值的差距最大，最大值是8.1萬元．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，理解題意找到相等關(guān)系列出方程和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．