Question

問題：已知△ABC中，Ð BAC＝2Ð ACB，點D是△ABC內(nèi)的一點，且AD＝CD，BD＝BA．探究Ð DBC與Ð ABC度數(shù)的比值．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明．

(1)當(dāng)Ð BAC＝90°時，依問題中的條件補全下圖．觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關(guān)系為________；當(dāng)推出Ð DAC＝15°時，可進(jìn)一步推出Ð DBC的度數(shù)為________；

可得到Ð DBC與Ð ABC度數(shù)的比值為_________；

(2)當(dāng)Ð BAC≠90°時，請你畫出圖形，研究Ð DBC與Ð ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)相等；15°；1∶3． 　　(2)猜想：Ð DBC與Ð ABC度數(shù)的比值與(1)中結(jié)論相同． 　　證明：如圖 　　作Ð KCA＝Ð BAC，過B點作BK∥AC交CK于點K， 　　連結(jié)DK．∵Ð BAC≠90°，∴四邊形ABKC是等腰梯形， 　　∴CK＝AB，∵DC＝DA，∴Ð DCA＝Ð DAC，∵Ð KCA＝Ð BAC， 　　∴Ð KCD＝Ð 3，∴△KCD@ △BAD，∴Ð 2＝Ð 4，KD＝BD， 　　∴KD＝BD＝BA＝KC．∵BK∥AC，∴Ð ACB＝Ð 6， 　　∵Ð KCA＝2Ð ACB，∴Ð 5＝Ð ACB，∴Ð 5＝Ð 6，∴KC＝KB， 　　∴KD＝BD＝KB，∴Ð KBD＝60°，∵Ð ACB＝Ð 6＝60°－Ð 1， 　　∴Ð BAC＝2Ð ACB＝120°－2Ð 1， 　　∵Ð 1＋(60°－Ð 1)＋(120°－2Ð 1)＋Ð 2＝180°，∴Ð 2＝2Ð 1， 　　∴Ð DBC與Ð ABC度數(shù)的比值為1∶3．