Question

19．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進(jìn)行正方形的判斷．

解答 證明：連接AC、BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
在△ABC中，F(xiàn)、G分別是AB、BC的中點(diǎn)，
故可得：FG=$\frac{1}{2}$AC，同理EH=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
在四邊形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，
則EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理、理解既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．