Question

正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于F，交BC的延長(zhǎng)線于G，M是FG的中點(diǎn)．
①求證：∠1=∠2；
②求證：EC⊥MC．
③試問(wèn)當(dāng)∠2等于多少度時(shí)，△ECG為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：

分析：①根據(jù)正方形對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠ADE=∠CDE，然后利用“邊角邊”證明△ADE和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2；
②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=MF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠MCF=∠MFC，然后求出∠2+∠MCF=90°，最后根據(jù)垂直的定義證明；
③根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠3=∠G，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠CFG=2∠2，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．

解答：①證明：在正方形ABCD中，∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2；

②∵M(jìn)是FG的中點(diǎn)，
∴MC=MF，
∴∠MCF=∠MFC，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠G，
∵∠G+∠MFC=90°，
∴∠2+∠MCF=90°，
∴EC⊥MC；

③解：∠2=30°時(shí)，△ECG為等腰三角形．
∵△ECG為等腰三角形，
∴∠3=∠G，
∵∠1=∠2，∠1=∠G，
∴∠2=∠G，
由三角形的外角性質(zhì)，∠CFG=∠2+∠3=2∠2，
在Rt△CFG中，∠G+∠CFG=90°，
∴∠2+2∠2=90°，
解得∠2=30°，
故∠2=30°時(shí)，△ECG為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．