Question

如圖，將腰長為

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的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐標系中的第二象限，使點C的坐標為（-1，0），點A在y軸上，點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）寫出點A，B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達△AB′C′的位置．請判斷點B′、C′是否在該拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），由AC=

5

，CO=1，求出AO即可得出A點的坐標，進而得出B點的坐標；
（2）將B點坐標代入y=ax²+ax-2即可得出二次函數(shù)解析式；
（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，進而得出△AC′P≌△CAO，得出B′（1，-1）C′（2，1）代入二次函數(shù)解析式求出即可．

解答：解：（1）如圖1，做BE⊥x軸，
∵腰長為

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=

5

，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（-3，1）；

（2）將B點（-3，1）坐標代入y=ax²+ax-2即可得出二次函數(shù)解析式；
解析式為：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（3）如圖2，過點B'作B'M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C'作C'P⊥y軸于點P．在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）；
當x=1時y=

1

2

x2+

1

2

x-2=-1，
當x=2時y=

1

2

x2+

1

2

x-2=1，
可知點B′、C′在拋物線上．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，注意利用旋轉(zhuǎn)前后圖形的性質(zhì)得出Rt△AB′M≌Rt△BAN，進而得出△AC′P≌△CAO是解決問題的關(guān)鍵．