Question

如圖，O為正方形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=CE

，交BE的延長線于點(diǎn)G，連接OG，
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）證明：OG=OB；
（3）在圖中找出一對相似三角形，并證明（不添輔助線）

Answer 1

（1）證明：在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）證明：∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的對角線，
∴∠EBC=

1

2

∠DBC=22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的對應(yīng)角相等）；
∴∠BGD=90°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠BGF=90°；
在△DBG和△FBG中，

∠DBG=∠FBG BG=BG ∠BGD=BGF

，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
∴點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)；
又∵O為正方形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，
∴OG是△DBF的中位線，
∴OG=

1

2

BF=

1

2

BD；
∵OB=

1

2

BD，
∴OB=OG；

（3）△BGF∽△DCF．理由如下：
在Rt△BGF和Rt△DCF中，

∠GBF=∠CDF=22.5° ∠F=∠F

，
∴Rt△BGF∽Rt△DCF．