Question

4．如圖，拋物線$y=-\frac{5}{12}{x^2}-\frac{7}{6}x+c$與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)D是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AD與y軸交于點(diǎn)K．
（1）填空：c=8；
（2）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，連接OD、CD、AC，以AC為直徑作⊙M，試判斷點(diǎn)D與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）在拋物線$y=-\frac{5}{12}{x^2}-\frac{7}{6}x+c$上是否存在點(diǎn)D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（0，8）代入拋物線y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+c，計(jì)算即可求得c的值；
（2）點(diǎn)D與⊙M上，理由：由（1）得拋物線的解析式為：y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8，進(jìn)一步得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AD的解析式，根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，3），在Rt△AOK中，根據(jù)三角函數(shù)得到tan∠KAO，作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則DE=2，CE=8-4=4，在Rt△CED中，根據(jù)三角函數(shù)得到tan∠ECD，tan∠ECD=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，可得∠KAO=∠ECD，進(jìn)一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得點(diǎn)D在⊙M上．
（3）分兩種情況討論：i）當(dāng)直線AD在x軸的上方時(shí)；ii）當(dāng)直線AD在x軸的下方時(shí)，直線AD關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形為直線AD'，進(jìn)行討論，可求符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把C（0，8）代入拋物線y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+c，得c=8．
故答案為：8；
（2）點(diǎn)D與⊙M上，
理由如下：
由（1）得：c=8，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{5}{12}$×2²-$\frac{7}{6}$×2+8=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），
在y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8中，
令y=0，則-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8=0，
解得：x₁=-6，x₂=$\frac{16}{5}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
又∵直線過(guò)點(diǎn)A（-6，0）和點(diǎn)D（2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ 2k+b=4\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3．
令x=0，則y=3，
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，3）．
在Rt△AOK中，tan∠KAO=$\frac{OK}{AO}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則DE=2，CE=8-4=4，
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠KAO=tan∠ECD，
即∠KAO=∠ECD
∵∠KAO+∠AKO=90°，
又∵∠AKO=∠CKD，
∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，
∴點(diǎn)D在⊙M上．
（3）分兩種情況討論：
i）當(dāng)直線AD在x軸的上方時(shí)，由（2）中可知：tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OED中，tan∠EOD=$\frac{ED}{OE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，
∵∠AOC=90°，
∴點(diǎn)O在⊙M上．
在⊙M中，$\widehat{CD}$=$\widehat{OD}$，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，
∴點(diǎn)D（2，4）符合題意．
ii）當(dāng)直線AD在x軸的下方時(shí)，直線AD關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形為直線AD'，
設(shè)直線AD'上的任意一點(diǎn)為（m，n），則點(diǎn)（m，n）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（m，-n）在直線AD上，
把點(diǎn)（m，-n）代入直線AD的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x+3，得：-n=$\frac{1}{2}$m+3，n=-$\frac{1}{2}$m-3，即y=-$\frac{1}{2}$x-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-3\\ y=-\frac{5}{12}{x^2}-\frac{7}{6}x+8\end{array}\right.$得：-$\frac{1}{2}$x-3=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8，
整理得：5x²+8x-132=0，
解得：x₁=-6，x₂=$\frac{22}{5}$，
∴點(diǎn)D$（{\frac{22}{5}，\;-\frac{26}{5}}）$．
綜上，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4）或$（{\frac{22}{5}，\;-\frac{26}{5}}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角函數(shù)，分類(lèi)思想的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．