Question

已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在圖1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC；
（2）在圖2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴AD=AC，AB=AC，
∴AB+AD=AC．

（2）解：結論仍成立．理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．則∠CED=∠CFB=90°，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，
在Rt△ACE與Rt△ACF中，則有AE=AC，AF=AC，
則AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．
∴AD+AB=AC．
分析：（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質進行證明；
（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根據(jù)角平分線的性質，得CE=CF，根據(jù)等角的補角相等，得∠CDE=∠ABC，再根據(jù)AAS得到△CDE≌△CBF，則DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，從而根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立．
點評：此題綜合考查了角平分線的性質、全等三角形的性質和判定及含30°角的直角三角形的知識；作出輔助線是正確解答本題的關鍵．注意：在探索（2）的結論的時候，能夠運用（1）的結論．