Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，C、D是半圓的三等分點(diǎn)，延長AC，BD交于點(diǎn)E．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）點(diǎn)M為BE上一點(diǎn)，且滿足EMEB=CE2 ， 連接CM，求證：CM為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C、D是半圓的三等分點(diǎn)，

∴ = = ，

連接OC、OD，如圖1所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，

∵OA=OC=OD=OB，

∴△AOC、△DOB為正三角形，

∴∠EAB=∠EBA=60°，

∴∠E=60°

（2）證明：連接BC，如圖2所示：

∵EMEB=CE2，

∴ ，

∵∠E=∠E，

∴△CEM∽△BEC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ECB=90°，

∴∠EMC=∠ECB=90°，

∵∠AOC=∠DOB=60°，

∴OC∥BE，

∵∠EMC=90°，

∴∠OCM=90°，

∴OC⊥CM，

∴CM為⊙O的切線．

【解析】（1）由半圓的三等分點(diǎn)，得 = = ，連接OC、OD，則∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，證得△AOC、△DOB為正三角形，得出∠EAB=∠EBA=60°，即可得出結(jié)果；（2）連接BC，由 ，∠E=∠E，證得△CEM∽△BEC，由AB為⊙O的直徑，得出∠ACB=90°，∠ECB=90°，由△CEM∽△BEC得出∠EMC=∠ECB=90°，由∠AOC=∠DOB=60°，證得OC∥BE，證得∠OCM=90°，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．