Question

7．如圖，在△ABC中，AB⊥BC，將△ABC沿著AC折疊，得到△ADC，點M、N分別在AB、AD邊上，且AM=AN=$\frac{1}{3}$AB，連接MN，若∠BAD=60°，則tan∠MNC的值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線；設BC=λ，分別用λ表示CP、AP、BD的長度；運用△AMN∽△ABD，列出比例式，求出AO、NO的長度，進而求出CO的長度；運用正切函數(shù)的定義即可解決問題．

解答 解：如圖，連接BD；由題意得：
MN∥BD，MN⊥AC，BD⊥AC；∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°；
設BC=λ；在直角△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴AC=2BC=2λ；而BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴CP=$\frac{1}{2}$λ，AP=2λ$-\frac{1}{2}λ$=$\frac{3}{2}λ$；BD=2BP=$\sqrt{3}$λ；
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AO}{AP}$=$\frac{MN}{BD}$，而AM=$\frac{1}{3}$AB，
∴AO=$\frac{1}{3}$AP=$\frac{1}{2}$λ，MN=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}λ$；
∴NO=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{\sqrt{3}}{6}λ$，
∴tan∠MNC=$\frac{CO}{NO}$，而CO=2λ$-\frac{1}{2}λ$=$\frac{3}{2}λ$，
∴tan∠MNC=3$\sqrt{3}$，
故答案為3$\sqrt{3}$．

點評 該題以直角三角形為載體，主要考查了直角三角形的邊角關系、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識點及其應用問題；靈活運用直角三角形的邊角關系、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點是解題的基礎和關鍵．