Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，和y軸相交于點(diǎn)B，連接AB、BC．
（1）求拋物線的解析式（關(guān)系式）；
（2）在直線BC上方的拋物線上，找一點(diǎn)D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)S_△ABC利用S_△BCD：S_△ABC=1：4，求得S_△BCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=3．設(shè)D的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），作DE⊥x軸于點(diǎn)E，利用S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，$\frac{9}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4-2b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）由y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4可知B（0，4），
∵A（-2，0），C（4，0），
∴AC=6，OB=4，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，S_△BCD：S_△ABC=1：4，
∴S_△BCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=3．
如圖所示，設(shè)在直線BC上方的拋物線上，找一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則
S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+x+4+4）•x+$\frac{1}{2}$（4-x）（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）-$\frac{1}{2}$×4×4=3．
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中涉及到的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)更是解決二次函數(shù)知識(shí)的常用方法．