Question

如圖，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）用直尺和圓規(guī)作出△ABC的外接圓⊙M，（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并求⊙M的圓心M的坐標(biāo)；
（3）將直線AC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)67.5°后交y軸于點(diǎn)P，若拋物線上的點(diǎn)Q關(guān)于直線AP對(duì)稱的點(diǎn)正好落在x軸上，求Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）依題意，有：
，
解得：
因此拋物線的解析式為y=x²-x-4；

（2）由拋物線的解析式可知，其對(duì)稱軸為x=1，
因此設(shè)M（1，a）．則有：
（1-4）²+（0-a）²=1+（-4-a）²
解得a=-1
∴M（1，-1）；

（3）依題意可知：∠PAB=∠QAB=22.5°，設(shè)直線AQ與y軸交于H，∠HAO=45°，
因此H點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+4，則有：
0=4k+4，k=-1
∴直線AQ的解析式為y=-x+4．
依題意有：

解得：，；
∴Q（-4，8）．
分析：（1）由于拋物線中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）連接BD，AD，作BD或AD的垂直平分線，與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是圓心M．
可先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸來(lái)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式表示出圓心M到三角形任意兩定點(diǎn)的距離，由于M是△ABC的外心，因此兩條線段相等，可得出一個(gè)關(guān)于M點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，即可求出M的坐標(biāo)．
（3）由題意，不難得出∠QAO的度數(shù)正好是45°，如果設(shè)直線AQ與y軸的交點(diǎn)為H，那么H點(diǎn)的坐標(biāo)必為（0，4）．可據(jù)此求出直線AQ的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、尺規(guī)作圖、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、軸對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)．