Question

如圖，E是?ABCD內(nèi)一點，已知DE⊥AD，∠CBE=∠CDE，∠BCE=45°，延長CE交AD、BA的延長線于F、G，連接BF．下列結(jié)論：①BE=CD；②四邊形BCDF為等腰梯形；③BE⊥AB；④AF=

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CE．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),等腰梯形的判定

專題：壓軸題

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ADC，即可求出∠ABE=∠ADE，延長DE交BC于N，過E作EM⊥CF交BC于M，根據(jù)AAS證△BME≌△DEC，推出BE=CD即可；連接DM，求出∠BME=∠DEM，證△BME≌△DEM，推出∠CBE=∠EDM=∠CDE，BE=DM，求出MD=BF，求出BF=CD，根據(jù)等腰梯形的判定推出即可；根據(jù)△BME≌△△DEC，推出BM=DE，EM=DE，求出DF=DE=BM，推出CM=AF，在Rt△MEC中，由勾股定理求出CM=

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CE即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠CBE=∠CDE，
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠CDE，
∴∠ABE=∠ADE，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴BE⊥AB，∴③正確；

延長DE交BC于N，過E作EM⊥CF交BC于M，
則∠MEC=90°，
∵∠BCE=45°，
∴∠EMC=45°=∠BCE，
∴CE=ME，∠BME=∠BCE+∠MEC=45°+90°=135°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴NC∥AD，
∵DE⊥AD，
∴DN⊥BC，
∴∠DNC=90°，
∴∠CED=90°+45°=135°，
∴∠BME=∠DEC=135°，
在△BME和△DEC中，

∠MBE=∠CDE ∠BME=∠DEC EM=CE

，
∴△BME≌△DEC（AAS），
∴BE=CD，∴①正確；


連接DM，
∵∠BME=∠CED=135°，∠MEC=90°，
∴∠MED=360°-90°-135°=135°，
∴∠BME=∠DEM，
在△BME和△DEM中，

BM=DE ∠BME=∠DEM ME=ME

，
∴△BME≌△DEM（SAS），
∴∠CBE=∠EDM=∠CDE，BE=DM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∵CM=AF，
∴BM=DF，
∴四邊形BMDF是平行四邊形，
∴MD=BF，
∵BE=DM，BE=CD，
∴BF=CD，
∵DF∥BC，
∴四邊形BCDF是等腰梯形，∴②正確；

∵△BME≌△△DEC，
∴BM=DE，EM=DE，
∵∠FDE=90°，∠FED=180°-135°=45°，
∴∠DFE=∠FED=45°，
∴DF=DE=BM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∴CM=AF，
在Rt△MEC中，∠MEC=90°，CE=EM，由勾股定理得：CM=

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CE，
即AF=

2

CE，
∴④正確；

故選D．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，難度偏大，對學(xué)生提出更高的要求．