Question

（本題12分）如圖（1），在平面直角坐標系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點C（0，m），A（n，m），且（m–4）2+n2–8n=–16，過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點．

（1）求A點的坐標．（3分）

（2）若OF+BE=AB，求證：CF=CE．（4分）

（3）如圖（2），若∠ECF=45°，給出兩個結論：?OF+AE–EF的值不變；?OF+AE+EF的值不變．其中有且只有一個結論正確，請你判斷出正確的結論，并加以證明和求出其值（5分）．

Answer 1

（1）A（3，3），B（3，0），C（0，3）；

（2）證明見解析；

（3）結論①正確，即OF+AE﹣EF的值不變．

【解析】

試題分析：（1）已知等式變形后，利用非負數(shù)的性質求出m與n的值，即可確定出A，B，C的坐標；

（2）由AE+EB=AB，以及OF+BE=AB，得到AE=OF，根據(jù)四邊形ABOC為正方形，得到CA=CO，且∠A=∠COF=90°，利用SAS得到三角形ACE與三角形OCF全等，利用全等三角形對應邊相等得到CF=CE；

（3）結論①正確，即OF+AE﹣EF的值不變，理由為：在x軸負半軸上取點H，使OH=AE，連接CH，利用SAS得到三角形ACE與三角形OCH全等，利用全等三角形對應邊相等得到EC=HC，∠1=∠2，根據(jù)∠ACO=90°，∠ECF=45°，得到∠1+∠3=45°，等量代換得到∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，利用SAS得到三角形ECF與三角形HCF全等，利用全等三角形對應邊相等得到EF=HF，而HF=OH+OF，等量代換得到EF=AE+OF，即AE+OF﹣EF=0．

試題解析：（1）將（m﹣3）2+n2=6n﹣9變形得：（m﹣3）2+（n﹣3）2=0，

∴m=3，n=3，

∴A（3，3），B（3，0），C（0，3）；

（2）∵OF+BE=AB，AE+EB=AB，

∴AE=OF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC=OC，∠A=∠COF=90°，

在△ACE和△OCF中，

，

∴△ACE≌△OCF（SAS），

∴CF=CE；

（3）結論①正確，即OF+AE﹣EF的值不變，理由為：

在x軸負半軸上取點H，使OH=AE，連接CH，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC=OC，∠A=∠COH=90°，

在△ACE和△OCH中，

，

∴△ACE≌△OCH（SAS），

∴∠1=∠2，EC=HC，

∵∠ACO=90°，∠ECF=45°，

∴∠1+∠3=45°，

∴∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，

在△ECF和△HCF中，

，

∴△ECF≌△HCF（SAS），

∴EF=HF=HO+OF=AE+OF，

則OF+AE﹣EF=0．

考點：四邊形綜合題