Question

8．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線與內角∠ABC的平分線交于點P，若∠BPC=41°，則∠CAP=50°．

Answer 1

分析 根據外角與內角性質得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．

解答 解：延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AP=PA}\\{PM=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案為：50°．

點評 此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平分線的性質得出PM=PN=PF是解決問題的關鍵．