Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，點P是三角形ABC內(nèi)一點，且滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA，
（1）判斷PC與PB的位置關(guān)系，并對你的判斷加以說明．
（2）△ABP與△APC的面積比．

Answer 1

解：（1）PC⊥PB．理由如下：
∵∠C=90°，
∴∠PCA+∠PCB=90°，
∵∠PCA=∠PBC，
∴∠PCB+∠PBC=90°，
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC）=180°-90°=90°，
∴PC⊥PB；

（2）∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠CAB，AB=AC，
∵∠ABC=∠PBA+∠PBC，∠CAB=∠PAB+∠PAC，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA=∠PAC，
又∵∠PAB=∠PCA，
∴△PAB∽△PCA，
∴△ABP與△APC的面積比為（AB：AC）²=（）²=2．
故答案為：2．
分析：（1）垂直．根據(jù)∠PCA+∠PCB=90°，∠PCA=∠PBC，可以推出∠PCB+∠PBC=90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以求出∠BPC=90°，從而得解；
（2）先判斷出△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)角的關(guān)系證明得到∠PBA=∠PAC，然后證明△PAB與△PCA相似，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方求解．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，仔細分析圖形，找出相似三角形是解題的關(guān)鍵．