Question

在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DE⊥AB于E，求證：AE=（AB-AC）．

Answer 1

證明：在BE上截取EG=AE，連DC，DB，如圖，
∵DE⊥AB，
∴DA=DG，
又∵DA平分∠BAF，
∴∠DGA=∠DAG=∠DAF，
∴∠DGB=∠DAC，而∠DBG=∠DCA，
∴△DBG≌△DCA，
∴BG=AC，
∴AB=2AE+AC．
即有AE=（AB-AC）．
分析：在BE上截取EG=AE，由DE⊥AB，則有DA=DG．只需證BG=AC即可，連接DC、DB、DFG從而只需證△DBG≌△DCA，而DA平分∠BAF，∠DGA=∠DAG=∠DAF，得到∠DGB=∠DAC，加上DG=DA，∠DBG=∠DCA，即可證明△DBG≌△DAC．
點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了證明三條線段之間的關系時常采用截取的方法．