Question

20．如圖，拋物線(xiàn)y=$\frac{1}{k}$（x-2）（x-k）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求k的值；
（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x（0＜x＜2），設(shè)△PAC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（4）點(diǎn)M（m，n）是直線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)m=1-a，如果在兩個(gè)實(shí)數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式，可得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，繼而可求直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）判斷△ABC是等腰直角三角形，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入可求出k的值；
（3）連接AP、CP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，根據(jù)S_△PAC-S_{四邊形OAPC}-S_△AOC，可得S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可得S的最大值；
（4）先求出n關(guān)于a的表達(dá)式，然后分類(lèi)討論：①a＞0，②a＜0，再由m與n之間（不包括m和n）有且只有一個(gè)整數(shù)，分別得出m、n的取值范圍，繼而可得a的取值范圍．

解答 解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x₁=2，x₂=k，
則可得A（2，0），C（0，2），
故直線(xiàn)AC：y=-x+2．

（2）由題得B（k，0），
∵∠CAB=45°，∠ABC≠90°，
∴∠ACB=90°且Rt△ABC為等腰直角三角形，
∴B（-2，0），
∴k=-2．

（3）連接AP、CP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，
∵k=-2，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²+2），
則OE=x，PE=-$\frac{1}{2}$x²+2，AE=2-x，
S_梯形OCPE=$\frac{1}{2}$（PE+OC）×OE，S_△APE=$\frac{1}{2}$AE×PE，
∴S_△PAC=S_{四邊形OAPC}-S_△AOC=S_梯形OCPE+S_△APE-S_△AOC
=-$\frac{1}{2}$x²+x
=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=1時(shí)，S取得最大，最大值為$\frac{1}{2}$．

（4）∵y=-x+2，點(diǎn)M在AC上，m=1-a，
∴n=a+1，
∵m≠n，
∴a≠0，
∵在m與n之間有且只有一個(gè)整數(shù)，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，m＜1＜n，$\left\{\begin{array}{l}0≤m＜1\\ 1＜n≤2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}0≤1-a＜1\\ 1＜a+1≤2\end{array}\right.$，
解得：-1≤a＜0；
當(dāng)a＜0時(shí)，n＜1＜m$\left\{\begin{array}{l}1＜m≤2\\ 0≤n＜1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1＜1-a≤2\\ 0≤a+1＜1\end{array}\right.$，
解得：0＜a≤1
∴-1≤a＜0或0＜a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、不等式組的解，難點(diǎn)在第三問(wèn)，如果不能得出m、n的取值范圍，可畫(huà)出數(shù)軸觀察，注意數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．