Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120^。。 動點P、E、M分別從B、A、D三點同時出發(fā)，其中點P沿BA向終點A運動，點E沿AD向終點D運動，點M沿DC向終點C運動，且它們的速度都為每秒2個單位。連結PE、PM、EM，設動點P、E、M運動時間為t（單位：秒），△PEM的面積為S。
（1）判斷△PAE與△EDM是否全等，說明理由；
（2）連結BD，求證：△EPM∽△ABD；
（3）求S與t的函數關系式，并求出△PEM的面積的最小值。

Answer 1

解：（1）△PAE≌△EDM，理由如下：根據題意，得BP=AE=DM=2t              ∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4-2t。              ∵在梯形ABCD中，AB=DC，               ∴∠PAE=∠EDM。               又 AP=DE，AE=DM              ∴△PAE≌△EDM。 （2）證明：∵△PAE≌△EDM，                    ∴PE=EM，∠1=∠2。                    ∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，                   ∴∠3=∠BAD。 ∵AB=AD，                   ∴。                  ∴△EPM∽△ABD。 （3）過B點作BF⊥AD，交DA的延長線于F，過P點作PG⊥AD交于G。           在Rt△AFB中，∠4=180°-∠BAD=180°-120°=60°，            ∴BF=AB·sin∠4=4·sin60°=2。           ∴S△ABD=。          在Rt△APG中，PG=AP·sin∠4=（4-2t）·sin60°=（2-t）。           AG=AP·cos∠4=（4-2t）·cos60°=2-t。          ∴GE= AG+AE=2-t+2t=2+t。           ∴          ∵△EPM∽△ABD，          ∴         ∴S△EPM=4·=。          ∴S與t的函數關系式為S=。（0≤t≤2）         ∵S=，>0         ∴當t=1，S有最小值，最小值為。