Question

15．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．
（1）如圖1，求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，若AG=AB，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中所有與CF相等的線(xiàn)段．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，欲證明四邊形AECF是平行四邊形只要證明AF=EC，AF∥EC即可．
（2）如圖2中，結(jié)論：與CF相等的線(xiàn)段有：AF，DF，AE，BE．EC．先證明四邊形ACDG是矩形，再證明四邊形AECF是矩形即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AF=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=EC．AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
（2）與CF相等的線(xiàn)段有：AF，DF，AE，BE．EC．
理由：如圖2中，連接AC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AB=AG，
∴AG=CD，AG∥CD，
∴四邊形ACDG是平行四邊形，
∵∠G=90°，
∴四邊形ACDG是矩形，
∴∠ACD=90°，∵AF=DF，
∴AF=CF=DF，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF是菱形，
∴CF=AF=DF=AE=EC=BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，所以中考常考題型．