Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE，過(guò)點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連接EP、CP、OP．
（1）BD=DC嗎？說(shuō)明理由；
（2）求∠BOP的度數(shù)；
（3）求證：CP是⊙O的切線；
如果你解答這個(gè)問(wèn)題有困難，可以參考如下信息：為了解答這個(gè)問(wèn)題，小明和小強(qiáng)做了認(rèn)真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個(gè)題目．在進(jìn)行小組交流的時(shí)候，小明說(shuō)：“設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，證△AOG∽△CPG”；小強(qiáng)說(shuō)：“過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，證四邊形CHOP是矩形”．

Answer 1

解：（1）BD=DC．連接AD，
∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，∴BD=DC；
（2）∵AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴BD=DE，∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，
∵∠DEC=75°
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；
（3）證明：設(shè)OP交AC于點(diǎn)G，則∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴=，
又∵==，∴=，∴=，
又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，∴CP是⊙O的切線）