Question

8．關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-3）x-1=0，
（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|-2．求m的值及方程的根．

Answer 1

分析 （1）只要證明△＞0即可．
（2）把條件|x₁|=|x₂|-2轉(zhuǎn)化為x₁+x₂與x₁x₂的形式即可．

解答 （1）證明：∵△=（m-3）²+4＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵|x₁|=|x₂|-2
∴|x₁|-|x₂|=-2
∴x₁²-2|x₁x₂|+x₂²=4
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6
∵x₁+x₂=m-3，x₁x₂=-1，
∴（m-3）²=4，
∴m-3=±2，
m=5或1
當(dāng)m=5時(shí)，方程為：x²-2x-1=0，解得x=1$±\sqrt{2}$，
當(dāng)m=1時(shí)，方程為：x²+2x-1=0，解得x=-1$±\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識(shí)，把|x₁|=|x₂|-2轉(zhuǎn)化為x₁+x₂與x₁x₂的形式是一個(gè)難點(diǎn)，靈活運(yùn)用公式是解決問題的關(guān)鍵．