Question

【題目】綜合與實(shí)踐:

問題情境:在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上,同學(xué)們以菱形為對(duì)象,研究菱形旋轉(zhuǎn)中的問題:已知,在菱形中, 為對(duì)角線, ,,將菱形繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(單位),旋轉(zhuǎn)后的菱形為,在旋轉(zhuǎn)探究活動(dòng)中提出下列問題,請(qǐng)你幫他們解決.

觀察證明:

(1)如圖1,若旋轉(zhuǎn)角,與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),請(qǐng)說明線段與的數(shù)量關(guān)系;

操作計(jì)算:

(2)如圖2,連接,菱形旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)與互相垂直時(shí), 的長(zhǎng)為 ;

(3)如圖3,若旋轉(zhuǎn)角,分別連接,,過點(diǎn)分別作,,連接,菱形旋轉(zhuǎn)的過程中,發(fā)現(xiàn)在中存在長(zhǎng)度不變的線段,請(qǐng)求出長(zhǎng)度;

操作探究:

(4)如圖4,在(3)的條件下,請(qǐng)判斷以,,三條線段長(zhǎng)度為邊的三角形是什么特殊三角形,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），理由詳見解析；（2）；（3）2；（4）以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證得，根(證得≌，可以得到結(jié)論；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)以及條件與互相垂直，證明、在同一直線上，利用銳角三角函數(shù)求得對(duì)角線的長(zhǎng)，繼而求得結(jié)論；

(3)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，是的中位線，從而證明；

(4) 以為邊向外作等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)以及證得≌，得到，把,,三條線段歸結(jié)到一個(gè)三角形中，易證得是直角三角形，從而得到結(jié)論.

(1) ,理由如下:

∵四邊形是菱形

∴

∴

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得: ,,,

∴

∴

即

在和中

∴≌()

∴

(2) 菱形中, , ,

∴平分 (等腰三角形三線合一),

∴,

∵,

∴

∴、在同一直線上，

如圖，菱形中, 為對(duì)角線, ,,

∴,

∴

∴

∴

故答案是：

(3)如圖,連接,由題可得:

∵

∴(等腰三角形三線合一),同理

∴是的中位線

∴

∵四邊形是菱形

∴

又∵ ,是等邊三角形

∴

∴

(4)以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由如下:

如圖,以為邊向外作等邊三角形,連接,

∵四邊形是菱形,

∴與是等邊三角形,

由(3)可知: 與都是等腰三角形

∴

∵與是等邊三角形

∴,,

∴

∴

在和中

∴≌()

∴,

∴

∴是直角三角形

即以,,三條線段長(zhǎng)度為邊的三角形是直角三角形.