Question

如圖，M是正方形ABCD邊AD上動點、以BM為對角線作正方形BGMN．
（1）當點M與A重合時，直接寫出△BNC與△BMD之間的面積關(guān)系．
（2）當點M不與A重合時，猜想△BNC與△BMD之間的面積關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）當點M在運動時，是否有一點使S_{正方形BGMN}=4S_△BNC成立？若成立，請求出∠ABM的大�。蝗舨怀闪�，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A與M重合，利用正方形的性質(zhì)，對角線垂直且平分，即可得出△BNC與△BMD的大小關(guān)系；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠MBD=∠DBN，進而求出

BN

BM

=

2

2

，

BC

BD

=

2

2

，得出△BNC∽△BMD，再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可；
（3）利用當S_{正方形BGMN}=4S_△BNC，可得S_△BMN=S_△BMD，再利用△BNC∽△BMD，得出∠BCN=∠MDB=45°，進而利用兩邊且夾角相等得出△BNC≌△DNC，再求出∠MBD=∠BDN=∠NBD得出答案．

解答：解：（1）

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；

（2）猜想

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；
證明：∵BM，BD都是正方形的角平分線，
∴∠MBN=∠DBC=45°，
∴∠MBD+∠DBN=45°，∠DBN+NBC=45°，
∴∠MBD=∠DBN，
∵

BN

BM

=

2

2

，

BC

BD

=

2

2

，
∴

BN

BM

=

BC

BD

，
∴△BNC∽△BMD，
∴

S△BNC

S△BMD

=（

2

2

）²=

1

2

；

（3）連接DN，
當S_{正方形BGMN}=4S_△BNC，
∵

S△BNC

S△BMD

=

1

2

；
∴可得S_△BMN=S_△BMD，
∴BM∥DN，
∴∠MBD=∠BDN，
∵△BNC∽△BMD，
∴∠BCN=∠MDB=45°，
∵NC=NC，BC=DC，
即

NC=CN ∠BCN=∠NCD=45° BC=DC

∴△BNC≌△DNC，（SAS）
∴BN=DN，
∴∠NBD=∠BDN，
∴∠MBD=∠BDN=∠NBD=22.5°，
∠ABM=22.5°．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BCN=∠MDB=45°，以及得出DN∥BM是解題關(guān)鍵．