Question

1．如圖，點D、E分別在等邊△ABC的AB、AC上，且CD＞BD，AE＞EC，AD和BE相交于點F．
（1）若∠BAD=∠CBE，則∠AFE=60°；
（2）若BD=CE，求證：AD=BE；
   （3）在（2）的條件下，以AB為邊作如圖所示的等邊△ABG，連接FG，若FG=11，BF=3，請直接寫出線段AF的長度為8．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等邊三角形各角為60°得：∠ABC=60°，再根據(jù)外角定理得：∠AFE=∠ABC=60°；
（2）證明△ABD≌△BCE可得AD=BE；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABF≌△CBN和△GAF≌△ACN可得AN=FG，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵等邊△ABC，
∴∠ABC=60°，
∵∠AFE=∠ABE+∠BAD
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，
故答案為：60°；
（2）∵等邊△ABC，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（3）如圖3，延長AF至N，使BF=FN=3，連接BN、NC，
∵∠BFN=∠AFE=60°，
∴△BFN是等邊三角形，
∴∠FBN=60°，BF=BN=3，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBN，
∴∠ABE=∠CBN，
在△ABF和△CBN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBN}\\{BF=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBN，
∴AF=NC，∠BAF=∠BCN，
∴∠BAF+∠GAB=∠BCN+∠ACB，
∵△ABC和△ABG都是等邊三角形，
∴∠GAB=∠ACB=60°，AG=AB=AC，
∴∠GAF=∠ACN，
在△GAF和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=AC}\\{∠GAF=∠ACN}\\{AF=CN}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△ACN（SAS），
∴GF=AN=11，
∴AF+FN=AN=11，
∴AF=11-3=8．
故答案為：8．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，題意新穎，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，第三問做出輔助線是關(guān)鍵．