Question

提出問題：在△ABC中，已知AB=

5

，BC=

10

，AC=

13

，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這個(gè)題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出這個(gè)格點(diǎn)三角形（即三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）如圖①所示，這樣就不用求三角形的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出三角形的面積了．
（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接寫出來：

 

．
問題延伸：
（2）我們把上述求三角形面積的方法叫構(gòu)圖法．若△ABC三邊長分別為2

2

a，

13

a，

17

a（a＞0），
請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形邊長是a）畫出相應(yīng)的△ABC，并寫出它的面積

 

．
探索創(chuàng)新：
（3）若△ABC三邊長分別為2

m2+n2

，

9m2+4n2

，

m2+16n2

（m＞0，n＞0，且m≠n）試用構(gòu)圖法求這個(gè)三角形面積．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形的面積

專題：網(wǎng)格型

分析：（1）△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）2

2

a是直角邊長為2a，2a的直角三角形的斜邊；

13

a是直角邊長為3a，2a的直角三角形的斜邊；

17

a是直角邊長為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是的直角邊長為2m，2n直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．

解答：解：（1）

7

2

；

（2）如圖：

S_△ABC=3a×4a-

1

2

×2a×2a-

1

2

×2a×3a-

1

2

a×4a=5a²；

（3）解：構(gòu)造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×2m×2n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×m×4n=5mn．

點(diǎn)評(píng)：本題是開放性的探索問題，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．