Question

12．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（4，0），點B（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），點C為線段OA上一點（點O為原點），則AB+BC的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，作點A關(guān)于直線OB的對稱點D，過D作DC⊥OA于C交直線OB于B，則CD=AB+BC的最小值，根據(jù)已知條件得到∠AOB=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AH=$\frac{1}{2}$OA，于是得到距離．

解答 解：∵點B（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
∴點B在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的直線上，
如圖，作點A關(guān)于直線OB的對稱點D，過D作DC⊥OA于C交直線OB雨B，
則CD=AB+BC的最小值，
∵B（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
∴tan∠BOC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∵∠AHO=90°，
∴AH=$\frac{1}{2}$OA，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴AD=2AH=4，
∴DC=2$\sqrt{3}$，
∴AB+BC的最小值=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了軸對稱-最小距離問題，解直角三角形，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．