Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）如圖1，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒2cm的速度沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1cm的速度沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)．連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似；
②設(shè)四邊形BCQP的面積為y，求y的最小值；
③如圖2，把△APQ沿AP翻折，得到四邊形AQPQ′，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQPQ′為平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）先用t表示出AP、AQ，①分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；
②過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)△APD和△ABC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DP，然后根據(jù)S_{四邊形BCQP}=S_△ABC-S_△APQ列式整理即可得解，再利用二次函數(shù)的最值問題求出y的最小值；
③根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AQ=AQ′，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定四邊形AQPQ′為菱形，連接QQ′，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得QQ′垂直平分AP，設(shè)QQ′與AP相交于點(diǎn)E，表示出AE，然后利用∠BAC的余弦值列式求解即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10cm；

（2）∵點(diǎn)P的速度是每秒2cm，點(diǎn)Q的速度是每秒1cm，
∴AP=2t，AQ=6-t，
①∠APQ=90°時(shí)，∵△AQP∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

6-t

10

=

2t

6

，
解得t=

18

13

，
∠AQP=90°時(shí)，∵△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
即

2t

10

=

6-t

6

，
解得t=

30

11

，
綜上所述，t值為

18

13

秒或

30

11

秒時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似；

②如圖1，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，
∵∠C=90°，
∴DP∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

DP

BC

=

AP

AB

，
即

DP

8

=

2t

10

，
解得DP=

8

5

t，
S_{四邊形BCQP}=S_△ABC-S_△APQ，
=

1

2

AC•BC-

1

2

AQ•DP，
=

1

2

×6×8-

1

2

×（6-t）•

8

5

t，
=

4

5

（t-3）²-

36

5

+24，
=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
即y=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
∵

4

5

＞0，
∴t=3時(shí)，y有最小值

84

5

；

③根據(jù)翻折的性質(zhì)，AQ=AQ′，
又∵四邊形AQPQ′為平行四邊形，
∴四邊形AQPQ′為菱形，
如圖2，連接QQ′，則QQ′垂直平分AP，
設(shè)QQ′與AP相交于點(diǎn)E，
則AE=

1

2

AP=

1

2

×2t=t，
cos∠BAC=

AE

AQ

=

AC

AB

，
∴

t

6-t

=

6

10

，
解得t=

9

4

，
故t為

9

4

秒時(shí)，四邊形AQPQ′為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，主要利用了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，（2）①難點(diǎn)在于要分情況討論，②把不規(guī)則圖形的面積利用兩個(gè)規(guī)則的三角形的面積表示是解題的關(guān)鍵，③作菱形的對(duì)角線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．