Question

如圖，△ABC是等邊三角形，且AB∥CE．
（1）求證：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，
①求E到BC的距離EH的長．
②求BE的長．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠DCE，再由相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）①過點(diǎn)E作EH⊥BF于點(diǎn)H，由AB=6，AD=2CD可得出CE的長，再根據(jù)∠A=∠DCE可得出∠ECH的度數(shù)，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
②由銳角三角函數(shù)的定義求出CH的長，再根據(jù)勾股定理得出BE的長即可．

解答：解；（1）∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED；

（2）①過點(diǎn)E作EH⊥BF于點(diǎn)H，
∵△ABC是等邊三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴

AB

CE

=

AD

CD

=

2

1

，∠A=∠ACB=60°，
∴CE=3，
∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∴∠ECH=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∴EH=CE•sin60°=3×

3

2

=

3 3

2

；
②在Rt△ECH中，
∵∠ECH=60°，CE=3，
∴CH=CE•cos60°=3×

1

2

=

3

2

，
∴BH=BC+CH=6+

3

2

=

15

2

，
∴BE=

EH2+BH2

=

( 3 3 2 )2+( 15 2 )2

=3

7

．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．