Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，連接AF、CE交于點(diǎn)M，連接BM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)N，連接DE交AF于點(diǎn)P，則結(jié)論：①∠ABN=∠CBN； ②DE∥BN； ③△CDE是等腰三角形； ④； ⑤，正確的個(gè)數(shù)有【    】

 A.  5個(gè)      B. 4個(gè)       C.  3個(gè)      D. 2個(gè)

 

Answer 1

【答案】

B。

【解析】如圖，連接DF，AC，EF，

∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，且AB=BC，

∴AE=EB=BF=FC。

在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE， BF=BE，

∴△ABF≌△CBE（SAS）�！唷螧AF=∠BCE，AF=CE。

在△AME和△CMF中，

∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF ，AE=CF，

∴△AME≌△CMF（AAS）。∴EM=FM。

在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM， EM=FM，∴△BEM≌△BFM（SSS）。

∴∠ABN=∠CBN。結(jié)論①正確。

∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED為等腰直角三角形�！唷螦ED=45°。

∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°�！唷螦ED=∠ABN=45°。

∴ED∥BN。結(jié)論②正確。

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC。

又∵AD∥FC，∴四邊形AFCD為平行四邊形。∴AF=DC。

又AF=CE，∴DC=EC。則△CED為等腰三角形。結(jié)論③正確。

∵EF為△ABC的中位線，∴EF∥AC，且EF=AC。

∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC。∴△EFM∽△CAM�！郋M：MC=EF：AC=1：2。

設(shè)EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，

設(shè)EB=y，則有BC=2y，

在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理得：，

∴3x=y，即x：y=：3。∴EM：BE=：3。結(jié)論④正確。

∵E為AB的中點(diǎn)，EP∥BM，∴P為AM的中點(diǎn)。

∴。

又∵，∴。

∵四邊形ABFD為矩形，∴。

又∵，∴S。

∴。結(jié)論⑤錯(cuò)誤。

因此正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)。故選B。