Question

如圖1，點(diǎn)A是線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．

（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；

（2）如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，邊AD′落在AE上；

②在①的條件下，延長(zhǎng)DD’交CE于點(diǎn)P，連接BD′，CD′．當(dāng)線(xiàn)段AB、AC滿(mǎn)足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，BD′與CD′相等？并給予證明．

 

Answer 1

【答案】

(1)詳見(jiàn)解析；（2）①旋轉(zhuǎn)角為60°；②當(dāng)AC=2AB時(shí)，BD′=CD′，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)容易證明⊿ABE≌⊿ADC,從而得證.(2)①由已知條件得∠BAD=60°，∠CAE=60°，所以∠DAE=60°，所以當(dāng)AD′落在AE上時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為60°.②若BD′=CD′,則必有∠D′BC=∠D′CB,又因?yàn)锳B=AD′,所以有∠ABD′=∠EAC=30°，所以有∠ACD′=30°，從而發(fā)現(xiàn)AB=AC.證明的過(guò)程和上面分析的過(guò)程剛好相反，把AB=AC當(dāng)作條件，利用等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明.

試題解析：（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD；      4分        

（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°，

∵邊AD′落在AE上，

∴旋轉(zhuǎn)角=∠DAE=60°；         7分

②當(dāng)AC=2AB時(shí)，BD′=CD′．

理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合，

∴AB=BD=DD′=AD′

∴四邊形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°

∵△ACE是等邊三角形，

∴AC=AE，∠ACE=60°，

∵AC=2AB，

∴AE=2AD′，

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，

∠ABD′=∠ACD′

∴BD′=CD′        11分

考點(diǎn)：1、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2、等邊三角形的性質(zhì);3、全等三角形的判定.