Question

如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點D的坐標為（-6，0），且∠ACD=90°．
（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最��？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；
（4）平行于y軸的直線m從點D出發(fā)沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t，0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s，求s關于t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）令y=ax²-8ax+12a=0，解一元二次方程，求出點A、B的坐標；
（2）由∠ACD=90°可知△ACD為直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，進而求出拋物線的解析式；
（3）△PAC的周長=AC+PA+PC，AC為定值，則當PA+PC取得最小值時，△PAC的周長最�。�設點C關于對稱軸的對稱點為C′，連接AC′與對稱軸交于點P，由軸對稱的性質(zhì)可知點P即為所求；
（4）直線m運動過程中，有兩種情形，需要分類討論并計算，避免漏解．

解答：解：（1）拋物線的解析式為：y=ax²-8ax+12a（a＞0），
令y=0，即ax²-8ax+12a=0，

解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0）．

（2）拋物線的解析式為：y=ax²-8ax+12a（a＞0），
令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD²=OC²+OD²=（12a）²+6²=144a²+36；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OC²+OA²=（12a）²+2²=144a²+4；
在Rt△ACD中，由勾股定理得：DC²+AC²=AD²；
即：（144a²+36）+（144a²+4）=8²，
解得：a=

3

6

或a=-

3

6

（舍去），
∴拋物線的解析式為：y=

3

6

x²-

4 3

3

x+2

3

．

（3）存在．
對稱軸為直線：x=-

8a

2a

=4．

由（2）知C（0，2

3

），則點C關于對稱軸x=4的對稱點為C′（8，2

3

），
連接AC′，與對稱軸交于點P，則點P為所求．此時△PAC周長最小，最小值為AC+AC′．
設直線AC′的解析式為y=kx+b，則有：

2k+b=0 8k+b=2 3

，解得

k= 3 3 b=- 2 3 3

，
∴y=

3

3

x-

2 3

3

．
當x=4時，y=

2 3

3

，∴P（4，

2 3

3

）．
過點C′作C′E⊥x軸于點E，則C′E=2

3

，AE=6，
在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′=

(2 3 )2+62

=4

3

；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=

22+(2 3 )2

=4．
∴AC+AC′=4+4

3

．
∴存在滿足條件的點P，點P坐標為（4，

2 3

3

），△PAC周長的最小值為4+4

3

．

（4）①當-6≤t≤0時，如答圖4-1所示．
∵直線m平行于y軸，
∴

GH

CO

=

DH

DO

，即

GH

2 3

=

6+t

6

，解得：GH=

3

3

（6+t）
∴S=S_△DGH=

1

2

DH•GH=

1

2

（6+t）•

3

3

（6+t）=

3

6

t²+2

3

t+6

3

；

②當0＜t≤2時，如答圖4-2所示．
∵直線m平行于y軸，
∴

GH

CO

=

AH

AO

，即

GH

2 3

=

2-t

2

，解得：GH=-

3

t+2

3

．
∴S=S_△COD+S_梯形OCGH=

1

2

OD•OC+

1

2

（GH+OC）•OH
=

1

2

×6×2

3

+

1

2

（-

3

t+2

3

+2

3

）•t
=-

3

2

t²+2

3

t+6

3

．
∴S=

3 6 t2+2 3 t+6 3 (-6≤t≤0) - 3 2 t2+2 3 t+6 3 (0＜t≤2)

．

點評：本題是典型的二次函數(shù)壓軸題，綜合考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知識點，難度不大．第（3）考查最值問題，注意利用軸對稱的性質(zhì)；第（4）問是動線型問題，考查分類討論的數(shù)學思想，注意圖形面積的計算．